Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Másodfokú kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek 18. Definiálja a következő fogalmakat! A. polinom,B. algebrai tört A. Polinom: Az egyváltozós valós polinom olyan többtag összeg, amelynek tagjai a változó különböző hatványainak valós számszorosai: a(n)*x^n +a(n -1)*x^n -1 +... +a(1)x +a(0), ahol a(0), a(1), ... , a(n) adott valós számok, a(n) <>0, és n <>0 természetes szám. A felírt polinom n-ed fok. B. Az algebrai tört két polinom hányadosa, például: 5x^4 +4x^3 +2x +3 /4x^5 +3x^2 -1 Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a valós számoknak a halmaza, ahol a tört nevezője nem 0. 19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet equivalens? Egyenlet: bármely két [egyenlőségjellel] összekötött kifejezés. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek. Az egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az alaphalmaza [vagy értelmezési tartománya] számhalmaz. [A nyitott mondat változótól függő állítás.] Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, az egyenlet igazsághalmaza [vagy megoldáshalmaza]. Két egyenlet equivalens, [egyenértékű], ha azonos alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik. 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! a*x^2 +b*x +c =0 a<>0 [ha 0, akkor x^2 is 0, s az már nem másodfokú egyenlet] A-t kiemeljük: a*(x^2 +{b /a}*x +c /a) =0 A zárójelben lévő részt teljes négyzetté alakítjuk: a*((x +{b/2*a})^2 -{b^2 /4*a^2} +c /a) =0 Közös nevezőre hozunk: a*((x +{b/2*a})^2 -{b^2 -4*a*c /4*a^2}) =0 (x +{b /2*a})^2 ={b^2 -4*a*c /4*a^2} Gyököt vonunk: |x +{b /2*a}| =`(b^2 -4*a*c) /2*a Abszolútérték felbontása: x +{b /2*a} =+-`(b^2 -4*a*c) /2*a x ={-b /2*a} +-{`(b^2 -4*a*c) /2*a} x1, x2 ={-b +-`(b^2 -4*a*c) /2*a} Gyöktényezős alakba is írhatjuk: a*(x -x1)*(x -x2) =0 Szorzat akkor nulla, ha valamelyik szorzótényező nulla, az A nem lehet nulla, tehát az (x -x1), vagy az (x -x2) lehet az, s ebből x=x1, ill. x=x2, innen kaptuk a két gyököt: (x -3)*(x +4) =0 Egyik gyök: 3, Másik gyök: -4 Mivel a nevezőben nem állhat 0, így a 2*a sem lehet az, s ekkor tényleg másodfokú egyenletről beszélünk, s elvégezhető az osztás. 21. Mit értünk a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? A másodfokú egyenlet (a*x^2 +b*x +c =0 [ahol A nem 0]) diszkriminánsa a gyök alatti mennyiség (b^2 -4*a*c). Ez határozza meg az egyenlet gyökeinek a számát: ha a diszkrimináns nagyobb, mint 0, akkor az egyenletnek két valós gyöke van, ha diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az egyenletnek egy valós gyöke van, és az ({-b /2*a}). Ezt kétszeres gyöknek is szoktuk nevezni, s ekkor az (x1 =x2)-vel, és a gyöktényezős alak így írható a*((x -x1)^2) =0 Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke, nem tudjuk megoldani a valós számok halmazán... 22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyöke, és együthatói közötti összefüggéseket! Az (a*x^2 +b*x +c =0 [A nem nulla]) alakban felírt másodfokú egyenlet két gyökének összegét (x1 +x2)-t ha felírjuk: {-b +`(b^2 -4*a*c) /2*a}+{-b -`(b^2 -4*a*c) /2*a} ={-2*b /2*a} Kettővel egyszerűsítve: x1 +x2 =-{b /a} Ha a két gyök szorzatát vesszük: x1*x2 ={-b +`(b^2 -4*a*c) /2*a}*{-b -`(b^2 -4*a*c) /2*a} "számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel": {(-b)^2 -(b^2 -4*a*c) /4*a^2} ={b^2 -b^2 +4*a*c/4*a^2} x1*x2 =c /a Összefoglalva: a Viéte [viét] formulák [Francia matematikus] közül a két legfontosabb: x1 +x2 =-{b /a} x1*x2 =c /a A két gyök összege [az elsőfokú tag együthatója, és a másodfokú tag együthatója] hányadosának a -1-szerese, a két gyök szorzata pedig a nullad fokú tag [konstans], és a másodfokú tag hányadosa.