Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


33. Határozza meg a következő ponthalmazokat: A. Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben. B. Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A. Két adott ponton [P-től és Q-tól] egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a P-Q szakasznak az adott síkra illeszkedő felezőmerőleges egyenese. A P-től és a Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben a P-Q szakasz felezőmerőleges síkja. Ez a sík átmegy a P-Q szakasz F felezőpontján, és merőleges a P-Q szakaszra. Ez azt jelenti, hogy a felezőmerőleges sík valamely egyenese merőleges a P-Q szakaszra. B. Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a két egyenes [e és f] metszi egymást, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei. 34. Határozza meg a következő ponthalmazokat!: A. Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon és a térben. B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A. Három adott ponttól, A-tól, B-től, és C-től egyenlő távolságra lévő pontok a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A-tól is és B-től is, és ugyanakkor B-től is és C-től is. Egy síkban az A-tól és B-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az A-B szakasz felezőmerőlegese: A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza pedig a B-C szakasz felezőmerőlegese. A keresett ponthalmaz tehát a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két felezőmerőlegesnek 1 közös pontja van, ez a pont mindhárom ponttól egyenlő távolságra van. Ez egyttal azt is jelenti, hogy A-C felezőmerőlegese is átmegy ezen a ponton; vagyis a háromszög három oldalfelezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges párhuzamos, a két egyenesnek nincs közös pontja, tehát a keresett ponthalmaz üres. A térben az A,B és C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok az A-B szakasz felezőmerőleges síkjának és a B-C szakasz felezőmerőleges síkjának a közös pontjai. Ha A,B és C egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges sík párhuzamos egymással, tehát a keresett ponthalmaz üres halmaz. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög köré írható kör középpontján átmenő, az ABC háromszög síkjára merőleges egyenes. B. Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát azokban az esetekben nézzük, amikor a három egyenes közt nincs egybeeső pont. Ha a három egyenes párhuzamos, nincs a feltételeket kielégítő pont. Ha a három egyenes közül 2 párhuzamos egymással, és a harmadik egyenes metszi őket [a és b párhuzamosak, e metszi a-t és b-t,], akkor az a és b párhuzamos egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes középpárhuzamosa (p). Az a és e egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f1 és f2 szögfelező egyenesek. Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két halmaz metszete: P1 és p2 pont. P1 és p2 egyenlő távolságra van az e-től és b-től is. [Az általuk bezárt szög szögfelező egyeneseivel is dolgozhattunk volna.] a háromszög belsejében a feltételeket kielégítő pont a három belső szögfelező metszéspontja. A 2.3. És 4. Jelű síktartományban a háromszög egy belső szögfelezőjének és a másik két cscshoz tartozó külső szögfelezőnek a metszéspontja adja a feltételeket kielégítő pontokat [minden síktartományban egyet]. Ha a három egyenes 1 pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja. 94. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk parabolának? A parabola azon pontok halmaza a síkban, amelyek 1, a síkban adott ponttól és 1 - az adott pontra nem illeszkedő egyenestől egyenlő távolságra vannak. Az adott pont a parabola fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese [direktrixe]. A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p). A parabolát a paramétere egyértelműen meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz. 96. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk elipszisnek? Az elipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságszöge állandó, és ez az állandó nagyobb mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] az elipszis fókuszpontjai. Az adott távolság az elipszis nagytengelye. Az F1-F2 szakasz felezőmerőlegesének az elipszis tartományába eső szakasza az elipszis kistengelye. 98. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk hiperbolának? A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távoolságkülönbségének abszoltértéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] a hiperbola fókuszpontjai, az adott távolság a hiperbola főtengelye.