Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


Térfogat számítások 135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a glát és a kpot? A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek. Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat hzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. gy egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet. Elnevezések: a metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága. Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat hzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. gy egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma. Elnevezések: a metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor hzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő. A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük. Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket hzunk, akkor végtelen kettőskp szerü felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gla. A sokszög a gla alaplapja, a többi lap a gla oldallapja. A gla oldallapjai háromszögek, amelyek közös cscsa a gla cscsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gla palástját. A gla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gla alaplapja szabályos, akkor a gla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike. Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem illeszkedő - rögzített ponton át egyeneseket hzunk, akkor egy végtelen, kettős kpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kp. A rögzített pont a kp cscsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kp alaplapja. A kp cscsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kp alkotói. A kp cscsa és az alaplap síkja közötti távolság a kp magassága. A kp cscsát az alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp alaplapja kör, akkor a kp körkp. [Ha kpról beszélünk, többnyire körkpra gondolunk.] A körkp cscsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kp tengelye. A kp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskp. Az egyenes kp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szár háromszög. A kp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik: A. A térfogat pozitív szám. B. Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. C. Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő. D. Az egységnyi élű kocka térfogata 1. A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik. A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a "minden határon tl finomodó kétoldali közelítés" módszerével. 136. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, M magasság hasáb térfogata V =T*! A bizonyítás két lépésben történik. Először bebizonyítunk egy segédtételt. A. Bebizonyítjuk, hogyha egy téglatest egy cscsából kiinduló 3 éle a, b, c, akkor a térfogata (V) ezek szorzata: V =a*b*c. A két téglatest alaplapja egybevágó, térfogatuk aránya magasságuk arányával egyezik meg. B. A paralelepipedon térfogata: V =T*m C. Háromszög alap hasáb térfogata (V) a hasáb alapterületének (T) és a magasságának (m) a szorzata: V =T*m. D. A hasáb térfogata a hasáb alapterületének és magasságának szorzata: V =T*m 137. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru, kör alapu, m magasságu henger térfogata V =r^2*pi*m! A bizonyítás gondolatmenete: rjunk gondolatban az r sugaru, m magasság hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszám szabályos sokszög alap hasábokat [magasságuk m]. A beírt hasáboknál a sokszögek cscsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. A szabályos sokszög alap hasábok térfogata az "alapterület szer magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. gy az azonos oldalszám köré - és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^2*pi, a kör területe. gy akármilyen nagy oldalszámra is a köré - és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^2*pi*m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha az r sugaru m magasság henger térfogata V =r^2*pi*m. 138. Bizonyítsa be, hogy a T alapterületű, m magasság gla térfogata (V =T*m /3)! A. A T alapterületü m magasságu tetraéder térfogata T*m /3. A bizonyításhoz két segédtételt használunk: a.: Ha két közös síkon álló tetraéder alapterülete (T) és magassága (m) egyenlő, akkor az alappal párhuzamos síkmetszeteik területe is egyenlő. B.: Az azonos alapterületü és magasságu tetraéderek térfogata egyenlő. C.: A tetraéder térfogatát - a segédtételek felhasználásával visszavezetjük a háromoldal hasáb már ismert térfogatára. B. Tetszőleges T alapterületű m magasságu gla V térfogata: V =T*m /3. 141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata (V =r^2*pi*m /3)! A forgáskp térfogatának meghatározása a kör alapu henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. rjunk a kpba és a kp köré egyre nagyobb oldalszám m magasság szabályos sokszög alap glákat, melyeknek cscsa a forgáskp cscsával megegyezik. A beírt glák alaplapjainak cscsai a kp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt glák alaplapjainak oldalai érintik a kp alapkörét. A kp térfogata a beírt és a körülírt glák térfogata között van. Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. gy az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. Mivel a beírt és körülírt glák magassága megegyezik, a térfogatuk közötti különbség is egyre kisebb lesz. Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, (r^2*pi)-hez tart. gy akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt glák térfogata közé esik egyrészt az (r^2*pi*m /3) érték, amihez a köréírt és a beírt glák térfogata tart, másrészt a kp térfogata is. Bizonyítható, hogy ez csak gy valósulhat meg, ha a kp térfogata (V =r^2*pi*m /3). 142. Bizonyítsa be, hogy az r sugaru gömb térfogata (V =4*r^3*pi /3)! Az r sugaru gömb térfogata: V =4*r^3*pi /3. / / / / / / / / 143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakp alapjai r és R sugaru körök, magassága pedig m, akkor térfogata (V =m*pi /3*(R^2 +R*r +r^2))!