Ugrás a tartalomhoz Lépj a menübe
 


66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit? Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz. Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük. Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t, tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük: sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó] cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó] tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög melletti befogó] ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel szemközti befogó] (sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza megmutatja, hogy az alfa szöggel szemközti befogó hányszorosa az átfogónak. Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is. 67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza illetve koszinusza? Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan alfa szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át. Sin(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor ordinátája [második koordinátája]. Cos(alfa) az alfa irányszögű e egységvektor abszcisszája [első koordinátája]. 68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve kotangense? Ha (cos(alfa) <>0) - azaz (alfa <>pi /2 +k*pi), k egész -, akkor tan(alfa) =sin(alfa) /cos(alfa). Ha (cos(alfa) =0), akkor az alfa szög tangensét nem értelmezzük. Ha (sin(alfa) <>0) - azaz (alfa <>k*pi), k egész -, akkor ctg(alfa) =cos(alfa) /sin(alfa) Ha (sin(alfa) =0), akkor az alfa szög kotangensét nem értelmezzük. 69. Számítsa ki a 30 fokos, 60 fokos, 45 fokos szögek szögfüggvényeinek pontos értékét! A 30 fokos és a 60 fokos szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldal szabályos háromszög segítségével számoljuk ki: sin(30) =1 /2 sin(60) =`3 /2 cos(30) =`3 /2 cos(60) =1 /2 tan(30) =1 /`3 =`3) /3 tan(60) =`3 ctg(30) =`3 ctg(60) =1 /`3 =`3 /3 a 45 fokos szög szögfüggvényeit az egységnyi befogój egyenlő szár derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki: sin(45) =1 /`2 =`2 /2 cos(45) =1 /`2 =`2 /2 tan(45) =1 /1 =1 ctg(45) =1 /1 =1 70. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1 minden valós a -ra. A szögfüggvények definíciója szerint az alfa irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos(alfa),sin(alfa)), az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagoras-tételt: |e|^2 =sin(alfa^2) +cos(alfa^2) =1. 71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldal és a közbezárt szög. Adott egy háromszög két oldala, a és b, és a két oldal által közbezárt szög epszilon. Ekkor a háromszög területét [t-t] a következő képlet adja meg: t =a*b*sin(epszilon) /2 73. Bizonyítsa be egy kör r hosszság sugara, a hosszság hrja és az a -hoz tartozó alfa kerületi szög közötti következő összefüggést: A =2*r*sin(alfa). Az r sugar körben az alfa kerületi szöghöz tartozó a hr hossza: 2*r*sin(alfa). 74. Bizonyítsa be a szinusztételt! A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek szinuszának arányával. Bizonyítása: rjuk fel a háromszög területét két féleképpen az alfa és béta szögek felhasználásával: a*c*sin(béta) /2 =b*c*sin(alfa) /2, innen: a*sin(béta) =b*sin(alfa), vagyis: a /b =sin(alfa) /sin(béta) Közben felhasználtuk, hogy (c <>0), (b <>0), és (sin(béta) <>0), hiszen egy háromszög oldalairól, ill. szögéről van szó. Ugyanez az okoskodás a háromszög többi oldalpárjára is elvégezhető. A szinusztétel segítségével a háromszög három független adatából - két oldala és az azokkal szemben fekvő szögei közül - meghatározhatjuk a kiányzó negyediket. Ha a hiányzó adat a nagyobb oldallal szemközti szög, akkor két megoldás is lehet: egy hegyes szög és egy tompa szög. Derékszögű háromszögre [ahol a az egyik befogó, alfa az ezzel szemközti szög, c az átfogó] - a szinusztétel a (sin(alfa) =a /c) összefüggést adja. 75. Bizonyítsa be a koszinusztételt! A koszinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben egy oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk a két oldal és a közbezárt szög koszinusza szorzatának kétszeresét. C^2 =a^2 +b^2 -2*a*b*cos(epszilon). 76. Igazolja a következő azonosságokat: Sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta) 77. Fejezze ki sin(alfa -béta) ill. cos(alfa -béta) értékét a sin(alfa +béta), ill. cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! Érvényesek a következő összefüggések: sin(alfa -béta) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*sin(béta) és (cos(alfa -béta) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta)). Bizonyítása: Tudjuk, hogy sin(alfa +béta) =sin(alfa)*cos(béta) +cos(alfa)*sin(béta) és cos(alfa +béta) =cos(alfa)*cos(béta) -sin(alfa)*sin(béta). rjunk béta helyébe (-bétát), majd használjuk fel, hogy sin(-béta) = -sin(béta) és cos(-béta) =cos(béta). Sin(alfa +(-béta)) =sin(alfa)*cos((-béta)) +cos(alfa)*sin((-béta)) =sin(alfa)*cos(béta) -cos(alfa)*cos(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk. Cos(alfa +(-béta)) =cos(alfa)*cos((-béta)) -sin(alfa)*sin((-béta)) =cos(alfa)*cos(béta) +sin(alfa)*sin(béta). Ezzel állításunkat igazoltuk. 78. Fejezze ki tan(alfa +béta)-t tan(alfa)-val és tan(béta)-val a sin(alfa +béta), ill. a cos(alfa +béta)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! A tan(alfa +béta) =tan(alfa) +tan(béta) /1 -tan(alfa)*tan(béta).